数据结构与算法之路

本文优化自：https://www.cnblogs.com/ComputerG/archive/2010/05/17/1737050.html

初级阶段可以参考：https://blog.csdn.net/m0_46521785/article/details/107971893

第一阶段：练经典常用算法

下面的每个算法给我打上十到二十遍，同时自己精简代码，

因为太常用，所以要练到写时不用想，10-15分钟内打完，甚至关掉显示器都可以把程序打出来.

• 最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord)

• 最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写)

• 大数（高精度）加减乘除

• 二分查找. (代码可在五行以内)

• 叉乘、判线段相交、然后写个凸包.

• BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简)

• 数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式.

• 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握.

• 任意进制间的转换

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第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。

• 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖

• 网络流，最小费用流。

• 线段树.

• 并查集。

• 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp

• 博弈类算法。博弈树，二进制法等。

• 最大团，最大独立集。

• 判断点在多边形内。

• 差分约束系统.

• 双向广度搜索、A*算法，最小耗散优先.

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初级

一.基本算法:

(1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)

(3)递归和分治法. (4)递推.

(5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)

二.图算法:

• 图的深度优先遍历和广度优先遍历.

• 最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)

  (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)

• 最小生成树算法(prim,kruskal)

  (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)

• 拓扑排序 (poj1094)

• 二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020)

• 最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)

三.数据结构.

• 串 (poj1035,poj3080,poj1936)

• 排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299)

• 简单并查集的应用.

• 哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)

  (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)

• 哈夫曼树(poj3253)

• 堆

• trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)

四.简单搜索

• 深度优先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)

• 广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)

• 简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)

五.动态规划

• 背包问题. (poj1837,poj1276)

• 型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149):

  • 1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)
  • 2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159)
  • 3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)

六.数学

• 组合数学:

  • 1.加法原理和乘法原理.
  • 2.排列组合.
  • 3.递推关系. (POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)

• 数论.

  • 1.素数与整除问题
  • 2.进制位.
  • 3.同余模运算. (poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)

• 计算方法.

  • 1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)

七.计算几何学

• 几何公式.

• 叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)

• 多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交) (poj1408,poj1584)

• 凸包. (poj2187,poj1113)

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中级:

一.基本算法:

• C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)
• 较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)

二.图算法:

• 差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)

• 最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)

• 双连通分量(poj2942)

• 强连通分支及其缩点.(poj2186)

• 图的割边和割点(poj3352)

• 最小割模型、网络流规约(poj3308, )

三.数据结构.

• 线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)
• 静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)
• 树状树组(poj1195,poj3321)
• RMQ. (poj3264,poj3368)
• 并查集的高级应用. (poj1703,2492)
• KMP算法. (poj1961,poj2406)

四.搜索

• 最优化剪枝和可行性剪枝
• 搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724)
• 记忆化搜索(poj3373,poj1691)

五.动态规划

• 较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)

  (poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)

• 记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)

• 树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)

六.数学

• 组合数学:

  • 1.容斥原理.
  • 2.抽屉原理.
  • 3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).
  • 4.递推关系和母函数.

• 数学.

  • 1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)
  • 2.概率问题. (poj3071,poj3440)
  • 3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)

• 计算方法.

  • 1.0/1分数规划. (poj2976)
  • 2.三分法求解单峰(单谷)的极值.
  • 3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)
  • 4.迭代逼近(poj3301)

• 随机化算法(poj3318,poj2454)

• 杂题.

  (poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)

七.计算几何学.

• 坐标离散化.

• 扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).

  (poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)

• 多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)

• 几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)

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高级:

一.基本算法要求:

• 代码快速写成,精简但不失风格

  (poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)

• 保证正确性和高效性. poj3434

二.图算法:

• 度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)

• 最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)

  (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446

• 最优比率生成树. (poj2728)

• 最小树形图(poj3164)

• 次小生成树.

• 无向图、有向图的最小环

三.数据结构.

• trie图的建立和应用. (poj2778)

• LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和 在线算法

  (RMQ+dfs)).(poj1330)

• 双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的). (poj2823)

• 左偏树(可合并堆).

• 后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点).

  (poj3415,poj3294)

四.搜索

• 较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)

• 广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法.

  (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)

• 深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286)

五.动态规划

• 需要用数据结构优化的动态规划.

  (poj2754,poj3378,poj3017)

• 四边形不等式理论.

• 较难的状态DP(poj3133)

六.数学

• 组合数学.

  • 1.MoBius反演(poj2888,poj2154)
  • 2.偏序关系理论.

• 博奕论.

  • 1.极大极小过程(poj3317,poj1085)
  • 2.Nim问题.

七.计算几何学.

• 半平面求交(poj3384,poj2540)

• 可视图的建立(poj2966)

• 点集最小圆覆盖.

• 对踵点(poj2079)

八.综合题.

(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)

相关的知识

图论

• 路径问题
  0/1边权最短路径
  BFS
  非负边权最短路径（Dijkstra）
  可以用Dijkstra解决问题的特征
  负边权最短路径
  Bellman-Ford
  Bellman-Ford的Yen-氏优化
  差分约束系统
  Floyd
  广义路径问题
  传递闭包
  极小极大距离 / 极大极小距离
  Euler Path / Tour
  圈套圈算法
  混合图的 Euler Path / Tour
  Hamilton Path / Tour
  特殊图的Hamilton Path / Tour 构造
• 生成树问题
  最小生成树
  第k小生成树
  最优比率生成树
  0/1分数规划
  度限制生成树
• 连通性问题
  强大的DFS算法
  无向图连通性
  割点
  割边
  二连通分支
  有向图连通性
  强连通分支
  2-SAT
  最小点基
• 有向无环图
  拓扑排序
  有向无环图与动态规划的关系
• 二分图匹配问题
  一般图问题与二分图问题的转换思路
  最大匹配
  有向图的最小路径覆盖
  0 / 1矩阵的最小覆盖
  完备匹配
  最优匹配
  稳定婚姻
• 网络流问题
  网络流模型的简单特征和与线性规划的关系
  最大流最小割定理
  最大流问题
  有上下界的最大流问题
  循环流
  最小费用最大流 / 最大费用最大流
• 弦图的性质和判定

组合数学

• 解决组合数学问题时常用的思想
  • 逼近
  • 递推 / 动态规划
• 概率问题
  • Polya定理

计算几何 / 解析几何

• 计算几何的核心：叉积 / 面积
• 解析几何的主力：复数
• 基本形
  点
  直线，线段
  多边形
• 凸多边形 / 凸包
  凸包算法的引进，卷包裹法
• Graham扫描法
  水平序的引进，共线凸包的补丁
• 完美凸包算法
• 相关判定
  两直线相交
  两线段相交
  点在任意多边形内的判定
  点在凸多边形内的判定
• 经典问题
  最小外接圆
  近似O(n)的最小外接圆算法
  点集直径
  旋转卡壳，对踵点
  多边形的三角剖分

数学 / 数论

• 最大公约数
  • Euclid算法
    • 扩展的Euclid算法
      • 同余方程 / 二元一次不定方程
      • 同余方程组
• 线性方程组
  高斯消元法
  解mod 2域上的线性方程组
  整系数方程组的精确解法
• 矩阵
  • 行列式的计算
    • 利用矩阵乘法快速计算递推关系
• 分数
  分数树
  连分数逼近
• 数论计算
  • 求N的约数个数
  • 求phi(N)
  • 求约数和
  • 快速数论变换
  • ……
• 素数问题
  • 概率判素算法
  • 概率因子分解

数据结构

• 组织结构
  • 二叉堆
  • 左偏树
  • 二项树
  • 胜者树
  • 跳跃表
  • 样式图标
  • 斜堆
  • reap
• 统计结构
  • 树状数组
  • 虚二叉树
  • 线段树
    • 矩形面积并
    • 圆形面积并
• 关系结构
  • Hash表
  • 并查集
    • 路径压缩思想的应用
• STL中的数据结构
  • vector
  • deque
  • set / map
• 动态规划 / 记忆化搜索
  • 动态规划和记忆化搜索在思考方式上的区别
  • 最长子序列系列问题
  • 最长不下降子序列
  • 最长公共子序列
  • 最长公共不下降子序列
  • 一类NP问题的动态规划解法
  • 树型动态规划
  • 背包问题
  • 动态规划的优化
    • 四边形不等式
    • 函数的凸凹性
    • 状态设计
    • 规划方向

线性规划

• 常用思想
  二分 最小表示法
• 串
  KMP Trie结构
  后缀树/后缀数组 LCA/RMQ
  有限状态自动机理论
• 排序
  选择/冒泡 快速排序 堆排序 归并排序
  基数排序 拓扑排序 排序网络